Криптограф нь математикийн шинжлэх ухаантай нягт холбоотой байдаг учраас энэ нийтлэлээс эхлээд түгээмэл хэрэглэгддэг математик аргуудыг тайлбарлахаар боллоо. Мөн сануулж хэлэхэд нийтлэлүүдийг маань ойлгохын тулд бага зэргийн суурь мэдлэг хэрэг болох байх шүү.
Юун түрүүнд “матриц” гэж юу билээ? Англиар Matrix гэдэг.
Энэ биш шүү 
[a, b]
[c, d] Энэ
Иймэрхүү форматтай 2*2-с эхлүүлээд хязгааргүй байж ч болно. Энгийнээр хүснэгт гээд ойлгож болно.
Матрицын урвууг олох болон модульт урвууг нь олох аргыг тайлбарлая. Эхлээд жишээ матриц.
[5, 8]
[3, 7]
Мөн модуль mod 26(Англи цагаан толгойн 26 үсэгт тохируулах) гэж үзье. Эхлээд энгийн урвуу матриц олох арга.
1. Тодорхойлогч (Determinant) олох
det(A)=ad−bc=(5×7)−(8×3)=35−24=11
Тодорхойлогч нь 0 биш тул урвуу матриц олдоно, мөн 26-тай харилцан анхны тоо (ХБЕХ(11, 26) = 1) байх ёстой. Ингэж гэмээ нь модулийн урвуу (modular inverse) оршино.
2. Матрицын алгебрын нэмэлт (Adjugate Matrix) бүтээх
Анхны матрицын:
- Диагональ элементүүдийг солино:
[7, 8]
[3, 5] - Тэмдэг солих (2×2-д зөвхөн b ба c-г солино):
[7, −8]
[−3, 5]
3. Урвуу матрицыг тооцоолох
Урвуу матриц = (1/det(A))×Adjugate(A)
| A-1 = (1/11) × | |
| 7 | -8 |
| -3 | 5 |
| = | |
| 7/11 | -8/11 |
| -3/11 | 5/11 |
Заа. Энгийн урвуу матриц олох арга нь боллоо. Энэ нь зөвхөн 2*2 дээр. 3 болон 4-тэй болох тусмаа төвөгтэй, олон үйлдэлтэй болдог.
Модулийн урвуу нь дээр дурдсан үйлдэл бүр дээр модулиа шингээх хэрэгтэй.
Алхам 1. Тодорхойлогчийн модулийн урвууг (Modular Inverse) олох
Бидэнд det(A)=11 байгаа. Үүний модулийн урвууг mod 26 дээр олох хэрэгтэй:
Олдох арга:
x-ийг 11x≡1 (mod 26) байхаар олно.
- 11×19=209
- 209mod 26=1 (учир нь 26×8=208)
Иймд:
11-1≡19 mod 26
Алхам 2 нь яг адилхан алгебрын нэмэлт матриц тул 3 руу оръё.
Алхам 3. Урвуу матрицыг тооцоолох
A-1 = (det(A))-1 × Adjugate(A) mod 26
1: Тодорхойлогчийг модулийн урвуугаар үржүүлэх (19):
| 7 | -8 |
| -3 | 5 |
2: Нүд бүрийг үржүүлнэ.
| 19×7 | 19×(-8) |
| 19×(-3) | 19×5 |
3: Хариу
| 133 | -152 |
| -57 | 95 |
26-д үлдэгдэлтэй хуваасан эцсийн үр дүн.
| 3 | 4 |
| 21 | 17 |
Модуль тооцоолол:
- 133 mod 26 = 133−(5×26) = 3
- −152 mod 26 = −152+(6×26) = 4
- −57 mod 26 = −57+(3×26) = 21
- 95 mod 26 = 95−(3×26) = 17
5. Матрицаа шалгах: A × A⁻¹ ≡ I (mod 26)
Анхны матрицтай үржүүлэхэд таних матриц гарч байгаа эсэхийг шалгана:
Тооцоолол:
| 5 | 8 |
| 3 | 7 |
| 3 | 4 |
| 21 | 17 |
1: Үржүүлэх:
| (5×3+8×21) | (5×4+8×17) |
| (3×3+7×21) | (3×4+7×17) |
2: Нэгтгэх:
| 183 | 156 |
| 156 | 131 |
3: Үлдэгдэлтэй хуваах 26:
| 183 mod 26 = 1 | 156 mod 26 = 0 |
| 156 mod 26 = 0 | 131 mod 26 = 1 |
Эцсийн үр дүн = Тодорхойлох матриц =
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
✓ Амжилттай
Энийг дараа нь “модулийн урвуу матриц” олох гэдэг нэрээр өөр газраас уншиж магадгүй шүү. Энэ хүртэл уншсанд баярлалаа.
Шинэ бичвэрүүд
CodeX[1] тэмцээний бодолт 2025-05-06
Trojan Horse Attack 2025-05-06
