Математик тулаан III хэсэг (by Yamcha)

ulziitugs

• 2025-03-10

Математикийн олон гишүүнтийн ерөнхий томьёоны талаарх нэгэн түүх – Азгүй Галуа

“5-с дээш зэргийн олон гишүүнтийн хариунд ерөнхий томьёо оршин байхгүй” болох нь Абелийн гараар тийнхүү батлагдав.

Гэвч, “ерөнхий томьёо оршин байхгүй” гэж буй нь, нэг ёсондоо 5-с дээш зэргийн олон гишүүнт бүгд бодох боломжгүй гэсэн үг бус, хэлбэрээсээ хамаараад зарим төрлийн тэгшитгэлд томьёо байж ч болно оо гэсэн үг. Жишээ нь: ах⁵ = b гэсэн энгийн хэлбэртэй тэгшитгэлийг бодоод үзэхэд л, хэдий 5 зэргийн олон гишүүнт ч гэлээ бодох боломжтой (томьёо оршин байгаа) гэдэг нь хэнд ч хялбар төсөөлөгдөх болов yy.

Тийм бол, олон гишүүнт гээч юм ямар үедээ томьёотой байгаад, ямар үедээ томьёогүй болчихдог юм бол? Мөн томьёо байлаа гэхэд тэр нь ямархуу юм байх бол? Энэ бүгдийг ил болгож өгсөн хүн бол, 20 дөнгөж шүргэж явсан Галуа хэмээх идэр залуу байлаа. Гэвч, Галуа ч бас Абелийн адилаар эмгэнэлт амьдралаар амьдраад өнгөрсөн гэдэг…

1811 онд Парисын ойролцоо төрсөн Галуа бол, эцэг нь улсын сургуулийн захирал, эх нь Парисын их сургуулийн профессор боловсролоор бөмбөгдүүлсэн айлын хүү болон өсөж, гэгээлэг чинээлэг хүүхэд насыг үджээ.

Тэрхүү Галуагийн амьдрал огцом савлаж орхисон нь, түүний 16 настайдаа олж уншсан Лежендрэ хэмээх математикчийн бичсэн “Геометрийн үндэс” гэдэг ном байж. Галуа тэр номонд ховсдуулан татагдаж, юу юугүй математикт олзлогдож орхих нь тэр. Тэр нь, түнээс болж Галуа математикаас өөр юм тоохоо болив. Галуагийн математикийн хүсэл шунал, дур тачаалыг багш нар нь ч хангаж дийлэхээ байж, тэрээр хувиараа мэргэжлийн математикчдын судалгааг хээв нэг гүйлгэх болж, бие даан математикт шамдан суралцав.

Түүний дараа, Галуа Францийн хамгийн алдартай сургуульд элсэлт өгнө. Тэргүүн зэргийн математикт суралцъя л гэвэл түүнээс бусад нь даанч гологдохоор тэрхүү сургууль болбоос элсэн ороход Даанч дэндүү чанга гэх боловч, Галуагийн авьяас билгийг бариад очвол үнэндээ юм болох учир байсангүй. Гэтэл чухам тэр авьяас билиг нь өөрөө асуудал болох нь тэр. Түүний эгэл бус авьяас нь, түүний зан авирыг дээрэнгүй бардам болгож орхижээ.

Элсэлтийн шалгалтын ярилцлага дээр дэндүү бүдүүлэг ойворгон аашилж, тэр шалтгаанаар түүнийг сургуульд элсүүлэлгүй унагачив.

Жилийн дараа Галуа дахин тэр сургуульдаа элсэлт өгнө. Галуагийн хувьд гэвэл яадаг ч бай заавал тэр сургуульд л орох хүсэлтэй. Харин тэр сургууль нь элсэлтийн шалгалтад хоёроос олон оруулахгүй гэсэн дүрэмтэй. Тиймээс тэр нь түүний эцсийн боломж байв.

Гэвч, тэр үед Галуад азгүй явдал тохиох нь тэр. Түүний хамгийн хайрлан хүндэлдэг хүн болох эцэг нь амиа хорлон нас барчхав.

Ингээд хамгийн азгүй нь гэвэл тэр явдлаас хэдхэн хоногийн дараа элсэлтийн шалгалт болох байв. Эцгийнхээ үхлийн цочирдлоос мултарч амжаагүй Галуа бас дахин ярилцлага дээр асуудал тарьж орхино. Ярилцлагадаа бүтэлгүйтсэн Галуа уураа барьж тэсэлгүй шалгалт авсан багш руу самбар арчигч шидэж орхитол, яг байндаа туссан гэдэг.

Мэдээж хэрэг 2 дахь шалгалт ч бас л муу мэдээгээр төгсөж, түүний хүссэн сургуульдаа орох зам бүрэн хаагдах нь тэр.

Тэглээ гээд Галуа гаргуундаа гараад шууд дуусчихсангүй. Түүнд өөрийнхөө математикийн авьяасдаа итгэх бат итгэл байлаа. Угаас сургуульд орохгүй байлаа ч математикч болох зам ахиад өчнөөн бий. Мэргэжлийн математикчийн эрүү нь мултрахаар час хийсэн ажил нэгийг бичиж үзүүлээд, хүрээлэнд хүлээн зөвшөөрүүлчихэд л хангалттай. Ингээд Галуа өөрийгөө бусдад таниулахаар, тухайн үедээ мэргэжлийнхний анхаарлын бай болоод байсан “5 зэргийн олон гишүүнтийн ерөнхий томьёо”-ны судалгаанд шумбан оров. Тэгээд эцэст нь судалгааныхаа үр дүнг хүрээлэнд илгээжээ.

Тэгтэл тэрийг нь хариуцан авсан хүн нь бас мөнөөх л Коши болж таарав. Коши өмнө нь Абелийн материалыг үрэгдүүлж байснаа бас дахин давтаж орхих нь тэр. Аргагүйдсэн Галуа дахин судалгаагаа эмхэтгээд дахин хүрээлэнд илгээсэн боловч, энэ удаад түүнийг нь хүлээж авсан Фурьер гэртээ аваачиж тавингуутаа гэнэт нас барж, ахиад материал нь үрэгдэж орхино.

Байж боломгүй азгүйтэлд дараалан өртсөн Галуа тэгээд ч шантарсангүй, 3 дахь удаагаа судалгаагаа бичээд явуулав. Харин энэ удаад хүрээлэнгээс хэдэн сарын турш таг чиг байдал хэсэг үргэлжлэв.

Үүнд тэсэрсэн нь Галуа бус, харин түүний найз Шевалье байлаа. Шевалье, хоёр ч удаа материал гээж үрэгдүүлээд, 3 дахь дээрээ хариу ч угуй сураг ч угуй болсон хүрээлэнд хандаж, хариуцсан хүмүүсийн нэрсийг зарлаж, хариуцлага тооцохыг шаардсан нийтлэл сонинд хэвлүүлэхээр зүтгүүлнэ. Энэ бухний үр дүнд хүрээлэн арай чүү хүнд бөгсөө хөдөлгөн, хэрэг явдлыг эргэн харсан боловч, түүний эцсийн хариу Галуаг нэг мөр дэлсээд хаячхав. Эцсийн эцэст хүрээлэнгээс гарсан шийдвэр нь, хэт шинэлэг Галуагийн эрдмийн ажлыг “ойлгох боломжгүй учраас хүлээн авахгүй” гэсэн үг байв.

Сургуулийн шалгалтад бүдэрч, хийсэн судалгаа нь хүрээлэнд хүлээн зөвшөөрөгдөөгүй гэх бүтэлгүйтэлд ээлжлэн дайруулсан Галуагийн сэтгэл санаа бага багаар догширч ирэв. Фурьерийн сүүлчийн теоремын баталгаанд тусалсан эмэгтэй математикч Софи, Галуагийн талаар нэгэн захиа бичсэн байдаг.

Фурьерийн гэнэтийн үхэл (судалгааны ажил нь алга болсон явдал) Галуагийн амьдралд том цохилт болсон. Хэдэр зантай ч гайхалтай авьяастай тэр хүү энэ чигээрээ явбал гарцаагүй галзуурна. Ийм мундаг хүүг энэ чигт нь алдчина гэхээс…, би үнэхээр айж байна.

Гэвч, Софигийн санаа зовнилыг үл харгалзан Галуагийн амьдрал улам бүр утгаа алдсаар байв. Түүнд үлдсэн юм гэвэл ердөө л өөрийг нь хүлээн зөвшөөрөхгүй нийгэм, тэгээд эцгийг нь алсан хаант засаг сүм хийдүүдэд хандах үзэн ядалт л байлаа. Тиймдээ ч Галуа хэт даврагч хувьсгалт хөдөлгөөнүүдэд биеэ зориулах болж, эцэстээ улс төрийн гэмт хэрэгтэн болж шоронд сууж, удалгүй суллагдсан хэдий ч, архинд автаж хүндрэхдээ амиа хүртэл хорлохоор завдах болов.

Тэгэвч, тийм Галуа ч гэлээ нэгэн цагт түүнд “сэтгэл зүрхнээсээ хайрлахуйц нэгэн” гарч ирнэ. Стефани хэмээх бүсгүй байв. Галуа түүнд сэтгэлээ өгч, бүсгүй түүнийг аврах учиртай байлаа. Гэсэн ч Галуа бол эцсийн эцэст азгүйтэх гэж л төрсөн хүн. Тэр бүсгүй нь нэгэнт сүй тавьсан байж. Тэгээд сүйт хархүү нь Галуаг дуэльд дуудаж орхих нь тэр. Нэмээд тэр залуу нь угаас Францдаа толгой цохих буу эзэмшигч нэгэн байж таарав.

Дуэльд Галуа ялагдах нь зурагтаар кино үзэх мэт тов тодорхой нүдэнд харагдаж байлаа. Гэсэн ч Галуа зугтсангүй. Үгүй ээ, эсрэгээрээ 20-хон насандаа хамгаа алдсан залуу нэгэнт өөрийгөө хөсөр хаясан ч байж мэдэх. Галуа дуэлийг хүлээн авч, өглөө эртлэн дуэль болох газар тийш явахаар шийдээд байв. Ингээд дуэлийн өмнөх шөнийг, өөрийн амьдралын сүүлчийн шөнөө өнгөрүүлэх болно.

“Маргааш үхэх биз” гэж бодох залуу сүүлчийн шөнөө хэрхэн өнгөрөөх байсан бол? Үнэнийг хэлбэл, бүхнээ алдсан Галуа ч гэлээ, түүний сэтгэлийн мухарт цор ганц нэгэн зовнил үлдээд байж. Тэр нь юу гэвэл, өөрийнх нь үхэлтэй хамт математикийн үр дүнгүүд нь ч бас арилна гэх айдас байв. Ингээд Галуа шөнийн турш сууж сүүлчийн эрдмийн ажлаа бичихээр завдана. Тэрээр амьдралынхаа сүүлчийн хормыг ашиглаад, өөрт байх математикийн бүхнээ буулган бичиж үлдээхээр шийджээ.

Гэвч, цаг даанч давчуу байлаа. Тиймээс цагт хөөгдөн байж бичсэн тэр юм нь эрдмийн ажил гэхээсээ илүү ноорог тэмдэглэл гэхээр юм болж орхив. Дээр нь аль ч хуудас нь сандарч бичсэндээ алдсан алдаагаа засаж дарсан зураасаар дүүрсэн учир нь олдохгүй юм болж, энд тэнд булан зайд “Яанаа, цаг дууслаа”, “Стефани!” гэх зэрэг сэтгэлийн хөдөлгөөнүүд ч бичээтэй харагдана.

Угаас хэдэн жилийн турш хуримтлагдсан судалгаагаа ганц шөнийн дотор бичиж илэрхийлнэ гэдэг өөрөө бүтэшгүй явдал юм. Гэсэн ч Галуа байдаг чадлаараа, өөрийн доторх математикаа, өөрийн амьдарч явсан ул мөрөө тэнд сийлэн үлдээжээ.

Гэтэл өдийг хүртэл Галуа юу ч бичлээ гээд бусдад үл тоогдсоор ирсэн бус уу? Тиймээс тэгэн тэгэн байж дахиж юм бичлээ гээд. бас л хэн нэгэнд гээгдээ ч юм бил үү, гэх айдас Галуад байгаагүй юм болов уу?

Үгүй ээ, түүнд цор ганц итгэж болох нэгэн анд байсан юм. Тэр бол хүрээлэнгийн материал гээгдүүлсэн хэрэг явдлыг өөрийн явдал мэт хүлээн авч, хүрээлэнд хариуцлага хүртэл хүлээлгэсэн найз Шевалье нь байв. Галуа түүнд итгэж байлаа. Тэр л ажлыг минь хоёргүй сэтгэлээр харж хандана. Галуа найздаа өөрийн бичвэрээ дайхаар шийджээ.

Энэ ажлыг минь зөв буруу эсэхийг бус, чухал эсэхийг Гаусс, Якоби нараас асууж өгөөрэй.

Галуа ийм захиа бичиж Шевальед илгээгээд дуэль тийш явав. Тэгээд дуэльд ялагдсан Галуа гэдсэндээ буудуулж, тэр чигтээ орхигдсоноор амьсгал хураах нь тэр ээ. Түүний сүүлчийн үг нь өөр дээр нь гүйн ирсэн дүүдээ хандан хэлсэн үг байсан гэдэг.

Аа, битгий уйлаач дээ. Би яг одоо 20 насандаа үхэхийн төлөө байдаг зориг тэвчээрээ дайчлах хэрэгтэй байна.

Галуаг нас барсны хойно, эх бичвэрийг даатгагдсан Шевалье түүний хуулбарыг нь Гаусс зэрэг суут математикчид руу илгээв. Гэвч Галуагийн таталган бичсэн ажлыг нь хэн ч ойлгож чадсангүй. Үнэндээ, тэр ажил нь дуэлийн өмнөх шөнө хэмээх сэтгэлзүйн хувьд хэрхэвч хэвийн бус төлөвтөө бичсэн зүйлийг ч хэлэх үү, бодитоор Галуа уймарч самраад ердийн нэг галзуу хүний тэмдэглэл бичсэн байхыг ч үгүйсгэх аргагүй. Тэгж эргэлзлээ гээд даанч арга байхгүй биз.

Гэсэн ч Шевалье Галуад итгэж байлаа. Тэрээр бичвэрүүдийг нь ширхэгчлэн уншиж тодруулан, түүнийгээ эмхэтгэж гарав. Ийнхүү Шевальен эмхэтгэсэн эрдмийн ажил математикчдын дунд бага багаар тархан дэлгэрч, явсаар Галуагийн гэрээсийг судлах математикч хүртэл гарч ирэв ээ.

Тэр бол түүнийг үхсэнээс 14 жилийн дараах явдал байлаа. Математикч Лиувилль Галуагийн ажлыг судалж, үр дүнгээ нийтэд зарлаж, тэр нь маш том харанга болон цуурайтав. Учир нь гэвэл, Лиувиллийн илтгэлийн агуулга нь “Хариутай тэгшитгэл болон хариугүй тэгшитгэлийг ялгах арга”, тэгээд “Хариутай тэгшитгэлийн хувьд, хариуг нь олох арга”-ыг тов тодорхой томьёолон үзүүлсэн байжээ.

Тиймээ, Галуагийн сүүлчийн үлдээсэн ажил нь “тэгшитгэлийн хариуны томьёо”-ны шинж чанарыг бүрэн ил гаргасан гайхалтай онол байсан юм. Ийнхүү 5-с дээш зэргийн олон гишүүнт тэгшитгэлийн томьёонууд бүгд тодорхой болж, n зэргийн олон гишүүнтийг тойрсон математикчдын их аян нэгэн цагт оргилыг эзэлсэн гэдэг билээ. Тэр аянд хамгийн том гавьяа байгуулсан нь Абель болон Галуа боловч, тэд тэрхүү бүтээлээсээ илүүтэйгээр “Математикийн түүхэн дэх хамгийн азгүй математикч” гэдгээрээ нэр нь танигдсан хүмүүс юм…

Гэвч, үнэхээр тэд гарцаагүй азгүй хүмүүс юм гэж уу?

Нээрээ ч, өөрийн авьяас билгээ нийтэд хүлээн зөвшөөрүүлж амжилгүй ид залуугаараа халин одсоныг нь бодвол, тэд үнэхээр азгүй мэт. Гэлээ ч, бүр ор тас азгүй хүмүүс гэж арай л бодомгуй. Тийм биш гэж үү? Тэд өөрсдийн богинохон амьдралдаа үнэн сэтгэлээсээ итгэн хандаж болохуйц, гэрээсээ өвлүүлж үлдээхүйц үнэнч найзыг олж чадсан байна бус уу? Чухам үүнээс эрхэм дээд аз гэж амьдралд өөр юу байх сан билээ?

Энэ хүртэл олон гишүүнт тэгшитгэлийн ерөнхий томьёог тойрсон түүхийн талаар өгүүллээ.

3 зэргийн олон гишүүнтийн ерөнхий томьёог олсон хичээнгүй математикч Тарталья. Тартальягийн үр дүнг тэр чигт нь булааж авсан Кардано. Карданогийн шавь, 4 зэргийн олон гишүүнтийн ерөнхий томьёог олж нээсэн Феррари. 5 зэргийн олон гишүүнт тэгшитгэлд ерөнхий томьёо байхгүй болохыг баталсан боловч, судалгааны ажлаа Кошигоор үрэгдүүлж, гансарсан чигтээ нас барсан Абель. Мөн Абельтай адилаар, судалгааны ажлуудаа үрэгдүүлж, эцэстээ дуэльд залуу амиа алдсан Галуа.

Олон гишүүнт тэгшитгэлийн ерөнхий томьёоны эрэл хайгуул ийм адал явдлаар өрнөсөн юм санж.

Энэ бол мэдээж өнгөрсөн цагийн хүмүүсийн тухай яриа биш. Математик гэх мэдлэгийн салбараар ч хязгаарлагдах зүйл биш. Өнөөдөр, яг одоо ч их сургууль гэх институцийн судалгааны өрөөгөөр өнгийн харвал, олон оюутан судлаачид “Тэгвэл дараагийн тохиолдол нь яах бол?” гэлцэн өдөр шөнийг ялгалгүй хөөн эрэлхийлж, түүнтэй зэрэгцээд өрсөлдөөн хийгээд алдар нэр зэрэг хүмүүний тэр л хүсэл тачаалдаа хөтлөгдөн шинэ адал явдал, шинэ уянга романсыг бүтээн буй биз ээ. Энд танилцуулсан математикчдын шинийг хийгээд үнэнийг эрэлхийлэх гал халуун сэтгэл, эхийн сэтгэл үрээр дамжих мэт үе үеийг дамжин өнөөдөр ч бас дүрэлзэн яваа.

Бид бүхний сургуульд заалгасан математикийн элдэв томьёонууд. Ердөө л нэг цифр тэмдгүүдийн дараалсан хэлхээ, шалгалтын бодлого бодохын төлөө л цээжилдэг байсан тэр уйтгартай томьёонууд.

Математик, Философи Бас Бус номийн хэсгээс